(가) 뜻이 있다. $5>3$ 이므로 참이다. (나) 뜻이 없다 — 진리값에 $1$ 을 더할 수는 없다. (다) 뜻이 없다 — $\wedge$ 는 진리값 둘을 받는데 $q(5)=2$ 는 수다. (라) 뜻이 있다. $q(5)=2$ 이고 $Q(2)$ 는 "$2>3$", 즉 거짓이다.

잔소리처럼 보이지만 이 구별이 5장에서 실제로 걸린다. 술어를 세울 때는 그것이 진리값을 낸다는 것을 분명히 해 두어야 한다. 프로그램에서 형(type)을 맞추는 것과 같은 일이다.

판정 기준은 하나다. 변수가 자유롭게 남아 있는가.

(가) 명제다. $2^{100}+1$ 은 정해진 수이고 소수인지 아닌지도 정해져 있다. 유한한 계산으로 판정할 수 있다 — 사람이 손으로 하기는 어렵지만 컴퓨터는 금방 한다(소수가 아니다).

(나) 술어다. $n$ 이 정해지지 않았다. $n=2$ 를 넣으면 참, $n=0.5$ 를 넣으면 거짓이다.

(다) 명제다. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ 이 $n$ 을 묶었기 때문이다. 그리고 참이다. 다만 유한한 계산으로 판정할 수는 없다 — 확인할 $n$ 이 무한히 많다. 그래서 증명이 필요하다.

(라) 명제다. 이것이 골드바흐 추측이고, ${10}^{18}$ 까지 참임이 확인되었지만 참인지 거짓인지 아무도 모른다. 참·거짓이 정해져 있다는 것과 우리가 안다는 것이 다르다는 점을 (라)가 보여 준다.

(가)와 (다)의 차이를 눈여겨보자. 둘 다 명제인데 한쪽은 계산으로 끝나고 다른 쪽은 끝나지 않는다. 이 문서가 다루는 것은 (다)와 (라) 쪽이다.

건전하지 않다는 것을 보이는 방법은 전제가 참이고 결론이 거짓인 배정 하나를 내놓는 것이다. 건전하다는 것을 보이려면 그런 배정이 없음을 확인해야 한다.

(가) 건전하다. 전제가 둘 다 참이라 하자. $P\to R$ 가 거짓이려면 $P$ 가 참이고 $R$ 가 거짓이어야 한다. $P$ 가 참이고 $P\to Q$ 가 참이니 $Q$ 가 참이고, $Q$ 가 참이고 $Q\to R$ 가 참이니 $R$ 도 참이다. $R$ 가 거짓이라는 것과 어긋난다.

(나) 건전하다. $\mathrm{\neg }P\to \mathrm{\neg }Q$ 의 대우가 바로 $Q\to P$ 이고, 조건문과 그 대우는 진리값이 언제나 같다.

(다) 건전하지 않다. $P$ 에 참, $Q$ 에 거짓을 배정하자. 그러면 $\mathrm{\neg }P$ 가 거짓이므로 전제 $\mathrm{\neg }P\to \mathrm{\neg }Q$ 는 참이다. 그런데 결론 $P\to Q$ 는 거짓이다.

(다)는 조건문을 그 이(inverse)와 혼동한 것이다. 이 혼동이 잘못된 증명의 가장 흔한 원인이고, 5장에서 진리표로 다시 확인한다.

공리로 받아들일 만한 것처럼 보이지만 정리다. 그리고 그 증명은 전혀 뻔하지 않다.

무엇을 주장하는지 정확히 적어 보자. "임의의 양의 정수 $m$, $n$ 에 대하여 $m/n$ 을 서로소인 두 양의 정수의 비로 쓸 수 있다." 이것은 모든 분수에 대한 주장이므로 유한한 확인으로는 끝나지 않는다.

증명은 4장의 정렬성 원리로 한다. 그러니 기초수학의 그 증명은 이름 없는 정리 하나에 조용히 의지하고 있었던 셈이다.

이것이 앞 절의 지침이 말하는 상황이다. 가정을 밝혀 두면 나중에 그 자리를 메울 수 있다. 밝히지 않으면 구멍인지도 모르고 지나간다. 이 문서에서 "쓸 수 있다", "당연히" 같은 말을 만나면 그 자리를 의심하는 습관을 들이는 것이 좋다.

먼저 밑작업이다. $x=0$ 이면 좌변은 $1$ 이니 성립한다. $x$ 가 커지면 $4x$ 는 커지고 $-x^3$ 은 작아지는데, $x=1$ 에서 $4x=4$ 이고 $-x^3=-1$ 이니 아직 $4x$ 가 이긴다. $x$ 가 $2$ 를 넘어야 $-x^3$ 이 이길 것 같다. 그러면 $[0,2]$ 에서 $-x^3+4x$ 가 음이 아니고, 거기에 $1$ 을 더하면 양수다.

이 어림을 확실한 것으로 바꾸려면 $-x^3+4x$ 의 부호를 직접 읽을 수 있는 모양으로 만들어야 한다. 인수분해가 그 길이다.

$-x^3+4x=x(2-x)(2+x)$

뼈대가 이것이다. 세 인수가 모두 음이 아니면 곱도 음이 아니고, 거기에 $1$ 을 더하면 양수다. 이제 증명을 쓴다.

증명. $0\le x\le 2$ 라 가정하자. 그러면 $x\ge 0$ 이고, $2-x\ge 0$ 이고, $2+x\ge 2>0$ 이다. 음이 아닌 수들의 곱은 음이 아니므로

$x(2-x)(2+x)\ge 0$

이고, 양변에 $1$ 을 더하면 $x(2-x)(2+x)+1>0$ 이다. 왼쪽을 전개하면 $-x^3+4x+1>0$ 이다. 증명이 끝났다.

최종 증명에 "$x$ 가 커지면" 같은 어림은 한 줄도 들어가지 않았다. 밑작업은 왜 참인지 알아내는 데 필요했고, 증명은 예외가 없다는 것을 보이는 데 필요하다. 둘은 하는 일이 다르다.

가정과 결론을 나란히 놓아 보자. 가정은 "$r$ 이 두 정수의 비가 아니다", 결론은 "$\sqrt{r}$ 이 두 정수의 비가 아니다"다. 부정이 양쪽에 다 있어 손댈 곳이 없다.

대우를 보자. "$\sqrt{r}$ 이 유리수이면 $r$ 도 유리수다." 이쪽은 가정이 식으로 적힌다. 부정 둘이 모두 사라졌다는 것이 대우를 고를 이유다.

증명. 대우를 증명한다. $\sqrt{r}$ 이 유리수라 하자. 그러면 어떤 정수 $m$, $n$ 에 대하여

$\sqrt{r}=\frac{m}{n}$

로 쓸 수 있다. 양변을 제곱하면

$r=\frac{m^2}{n^2}$

이고 $m^2$ 과 $n^2$ 은 정수이므로 $r$ 는 유리수다. 대우가 참이므로 원래 명제도 참이다.

증명이 세 줄로 끝났다. 원래 명제를 직접 공격했다면 "두 정수의 비가 아닌 수의 제곱근"에서 시작해야 했고, 거기서 나아갈 길이 보이지 않는다.

두 방향을 각각 보고 어느 방법이 맞는지 정한다.

왼쪽에서 오른쪽($n$ 이 짝수 → $n^2$ 이 짝수)은 가정이 식으로 적힌다. 짝수는 $n=2k$ 다. 직접증명이다.

오른쪽에서 왼쪽($n^2$ 이 짝수 → $n$ 이 짝수)은 가정이 손대기 어렵다. $n^2=2k$ 에서 $n$ 에 대한 정보를 끌어내려면 제곱근을 다뤄야 한다. 반면 결론의 부정 "$n$ 이 홀수"는 $n=2k+1$ 로 적힌다. 대우증명이다.

증명. 두 방향을 차례로 보인다.

먼저 $n$ 이 짝수라 하자. 어떤 정수 $k$ 에 대하여 $n=2k$ 이므로 $n^2=4k^2=2(2k^2)$ 이고, 괄호 안이 정수이므로 $n^2$ 은 짝수다.

다음으로 반대 방향을 대우로 보인다. 대우는 "$n$ 이 홀수이면 $n^2$ 도 홀수다"이다. $n=2k+1$ 이라 하면

$n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$

이고 괄호 안이 정수이므로 $n^2$ 은 홀수다.

두 방향이 모두 성립하므로 두 명제는 동치다.

한 정리 안에서 두 방향에 서로 다른 방법을 썼다. "iff 증명은 두 문제다"라고 생각하는 편이 안전하다. 한 방향만 보이고 끝내는 것이 iff 답안에서 가장 흔한 실수다.

뼈대는 이렇다. 제곱근이 $0$ 이려면 안이 $0$ 이어야 하고, 음이 아닌 것들의 합이 $0$ 이려면 각각이 $0$ 이어야 한다. 두 단계가 모두 동치이므로 사슬로 이을 수 있다.

증명. 동치 사슬을 만든다.

$\sigma =0$ 이다.

$⟺$ 제곱근 안이 $0$ 이다. $0$ 은 제곱근이 $0$ 인 유일한 수이기 때문이다.

$⟺(x_1-\mu {)}^2+\cdots +(x_n-\mu {)}^2=0$. 분모 $n$ 은 양수이므로 분자만 보면 된다.

$⟺$ 좌변의 모든 항이 $0$ 이다. 실수의 제곱은 음이 아니므로 음이 아닌 수들의 합이 $0$ 인 것은 각 항이 $0$ 인 것과 같다.

$⟺$ 모든 $i$ 에 대하여 $x_i=\mu$ 다. $(x_i-\mu {)}^2=0$ 인 것은 $x_i=\mu$ 인 것과 같기 때문이다.

사슬이 끝났다.

각 $⟺$ 마다 왜 그 단계가 양방향인지를 한마디씩 붙였다는 데 주의하자. 이 한마디가 빠지면 사슬은 계산 나열이 되고, 어느 단계가 한쪽 방향뿐인지 아무도 알 수 없다.

$max$ 와 $min$ 은 어느 쪽이 큰지에 따라 값이 갈린다. 바로 그 갈림을 경우로 잡으면 두 함수가 사라진다.

증명. 경우를 나눈다.

경우 1: $r\le s$. 그러면 $max(r,s)=s$ 이고 $min(r,s)=r$ 이므로 좌변은 $s+r=r+s$ 다.

경우 2: $r>s$. 그러면 $max(r,s)=r$ 이고 $min(r,s)=s$ 이므로 좌변은 $r+s$ 다.

두 실수는 $r\le s$ 이거나 $r>s$ 이므로 경우가 빠짐없다. 두 경우 모두 등식이 성립하니 증명이 끝났다.

경우 1 에서 $r=s$ 도 포함된다는 점을 확인해 두자. $r=s$ 일 때 $max$ 와 $min$ 이 모두 같은 값이 되어 아무 문제가 없다. 만약 경우를 $r<s$ 와 $r>s$ 로 나눴다면 $r=s$ 가 빠져 증명이 되지 않는다. 부등호에 등호를 어느 쪽에 붙이는지가 빈틈을 만든다.

뼈대는 이렇다. 한 사람을 고르고, 나머지 다섯을 그와 만난 쪽과 안 만난 쪽으로 가른다. 다섯을 둘로 나누면 한쪽은 반드시 3명 이상이다.

증명. 경우 나누기로 증명한다. 여섯 사람 중 한 명을 $x$ 라 하자. 경우는 둘이다.

경우 1: $x$ 를 만난 사람이 3명 이상이다.

경우 2: $x$ 를 만나지 않은 사람이 3명 이상이다.

경우가 빠짐없는지 먼저 확인한다. $x$ 를 뺀 다섯 사람을 "$x$ 를 만난 쪽"과 "안 만난 쪽"으로 나누면 두 무리의 크기를 합쳐 $5$ 이므로 한쪽은 $3$ 이상이다. 확인이 끝났다.

경우 1 을 보자. $x$ 를 만난 세 사람을 잡는다. 다시 두 갈래다.

경우 1.1: 그 셋 중 서로 만난 짝이 하나도 없다. 그러면 그 셋이 3인 낯선 무리다.

경우 1.2: 그 셋 중 서로 만난 짝이 있다. 그 두 사람은 각각 $x$ 를 만났고 서로도 만났으므로 $x$ 와 함께 3인 클럽이다.

어느 갈래에서도 주장이 성립하므로 경우 1 에서 주장이 성립한다.

경우 2 는 "만났다"와 "만나지 않았다"를 맞바꾸면 경우 1 과 글자만 다른 논증이 된다. $x$ 를 만나지 않은 세 사람 중 서로 만나지 않은 짝이 있으면 $x$ 와 함께 3인 낯선 무리이고, 없으면 그 셋이 3인 클럽이다.

두 경우 모두에서 주장이 성립하므로 증명이 끝났다.

경우 2 를 "대칭이므로 같다"고 넘기지 않고 한 줄로라도 무엇이 어디에 대응하는지 적었다는 점을 눈여겨보자. 진짜 대칭인지 확인하는 것도 증명의 일부다.

뼈대가 특이하다. ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 가 유리수인지 아닌지 우리는 모른다. 그런데 어느 쪽이어도 주장이 성립한다. 그러니 두 경우로 나누면 끝난다.

증명. 경우를 나눈다.

경우 1: ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 가 유리수다. 그러면 $a=b=\sqrt{2}$ 가 찾던 예다. $\sqrt{2}$ 가 무리수임은 이미 알고 있다.

경우 2: ${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$ 가 무리수다. 그러면 $a={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$, $b=\sqrt{2}$ 로 잡는다. 계산하면

$a^b={\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}={\sqrt{2}}^2=2$

이고 $2$ 는 유리수다. 두 밑은 모두 무리수다.

어느 경우에도 그런 무리수 쌍이 존재하므로 증명이 끝났다.

이 증명에는 이상한 점이 있다. 존재한다는 것은 보였는데 어느 것인지는 말하지 못했다. 이런 증명을 비구성적(nonconstructive) 증명이라 한다. 답을 손에 쥐고 싶다면 다른 증명이 필요하다. 실은 $a=\sqrt{2}$, $b=2{\log }_{2}3$ 을 잡으면 $a^b=3$ 이 되는데, 이 $b$ 가 무리수임을 따로 보여야 한다.

뼈대는 이렇다. "정수이거나 무리수"를 부정하면 "정수가 아닌 유리수"가 된다. 그 하나만 막으면 된다.

쓰는 사실은 하나다. 소수 $p$ 가 어떤 정수의 거듭제곱을 나누면 그 정수 자체를 나눈다. 즉 $7$ 이 $n^b$ 를 나누면 $7$ 이 $n$ 을 나눈다. 이것은 11장에서 증명한다.

증명. 모순을 이끌어 낸다. ${\log }_{7}n$ 이 정수가 아닌 유리수라 하자. 그러면 서로소인 양의 정수 $a$, $b$ 로

${\log }_{7}n=\frac{a}{b},b\ge 2$

라 쓸 수 있다. $b=1$ 이면 ${\log }_{7}n$ 이 정수가 되어 가정에 어긋나므로 $b\ge 2$ 다. 로그의 정의로 옮기면

$n=7^{a/b}⟺n^b=7^a$

이다. 우변이 $7$ 의 거듭제곱이므로 $7$ 은 $n^b$ 를 나누고, 위의 사실에 의해 $7$ 은 $n$ 을 나눈다. 그러니 $n$ 을 소인수분해하면 $7$ 만 나온다. 만약 다른 소수 $q\ne 7$ 이 $n$ 을 나눈다면 $q$ 는 $n^b=7^a$ 도 나누는데, $7^a$ 는 $7$ 아닌 소수로 나누어지지 않는다.

따라서 어떤 양의 정수 $k$ 에 대하여 $n=7^k$ 이고

$n^b=7^{kb}=7^a⟹kb=a⟹\frac{a}{b}=k$

이다. 그런데 $k$ 는 정수이므로 ${\log }_{7}n$ 이 정수가 되어 처음 가정에 어긋난다. 모순이다.

따라서 ${\log }_{7}n$ 은 정수이거나 무리수다.

"쓰는 사실을 명시하라"는 요구를 지킨 자리가 둘째 문단이다. 그 사실 없이는 $7\mid n^b$ 에서 $7\mid n$ 으로 넘어갈 수 없다. 증명에서 진짜 무게를 지는 한 줄이 어디인지 알아 두는 것이 그 증명을 이해했다는 뜻이다.

뼈대는 이렇다. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 가 유리수라 하면 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 도 유리수가 되고, 둘을 더하면 $2\sqrt{3}$ 이 유리수가 되어 이미 아는 사실에 어긋난다. 여기서 쓰는 열쇠는 $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1$ 이다.

증명. 모순을 이끌어 낸다. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 가 유리수라 하고 $\sqrt{3}+\sqrt{2}=q$ 라 하자. $q>0$ 이다. 위의 곱셈에서

$\sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1}{q}$

이고, 유리수의 역수는 유리수이므로 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 도 유리수다. 두 식을 더하면

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}=q+\frac{1}{q}$

이다. 우변은 유리수의 합이므로 유리수이고, 따라서 $\sqrt{3}=\frac{1}{2}(q+\frac{1}{q})$ 도 유리수다. 그런데 $\sqrt{3}$ 은 무리수다. 모순이다.

따라서 $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 는 무리수다.

이 증명이 쓴 수법을 기억해 둘 만하다. 다루기 어려운 수를 다루기 쉬운 짝과 곱해 유리수를 만든다. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 를 켤레(conjugate)라 하고, 무리수를 다룰 때 자주 쓴다.

계산은 한 줄도 틀리지 않았다. 그런데 증명이 아니다.

틀린 곳은 첫 줄이다. 첫 줄이 증명하려는 명제 그 자체인데 그것을 참이라 놓고 시작했다. 그다음 줄들은 "명제가 참이라면 $(a-b{)}^2\ge 0$ 이다"를 보인 것이고, 이것은 명제 → 참인 사실 꼴이다.

그런데 함의는 그 방향으로 쓸 수 없다. 앞 절의 건전성 예제로 돌아가면 이유가 분명하다. $P\to Q$ 와 $Q$ 가 참이어도 $P$ 는 알 수 없다. 실제로 거짓인 명제에서 출발해도 참인 결론에 도달할 수 있다. $1=2$ 에서 출발해 양변에 $0$ 을 곱하면 $0=0$ 이라는 참인 식이 나오는 것과 같다.

고치는 방법은 순서를 뒤집는 것이다. 참인 사실에서 출발해 명제로 내려온다.

증명. $a-b$ 는 실수이므로 $(a-b{)}^2\ge 0$ 이다. 전개하면 $a^2-2ab+b^2\ge 0$ 이고, 양변에 $4ab$ 를 더하면 $a^2+2ab+b^2\ge 4ab$, 즉 $(a+b{)}^2\ge 4ab$ 다. $a,b\ge 0$ 이므로 $a+b\ge 0$ 이고 양변의 음이 아닌 제곱근을 취하면 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$, 양변을 $2$ 로 나누면 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ 다.

이 오류를 순환 논증 또는 "결론을 가정하기"라 한다. 밑작업에서는 원래 이렇게 거꾸로 더듬어 간다. 문제는 그 밑작업을 그대로 증명이라고 낸 것이다. 밑작업을 뒤집어 다시 쓰는 일까지가 증명이다.

덧붙여, 뒤집은 증명에서 "양변의 음이 아닌 제곱근을 취한다"는 단계에 $a+b\ge 0$ 이 필요했다는 것도 확인해 두자. 원래 "증명"은 이 조건을 어디서도 쓰지 않았다. 조건이 쓰이지 않는 증명은 대개 무언가 빠뜨린 증명이다.

등호가 다섯 개 있으니 하나씩 본다.

$1=\sqrt{1}$ 은 참이다. $\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}$ 도 참이다. $(-1)(-1)=1$ 이니까.

셋째 등호 $\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}$ 이 틀렸다. $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 라는 규칙은 $a\ge 0$ 이고 $b\ge 0$ 일 때만 성립한다. 여기서는 둘 다 음수다.

넷째와 다섯째 등호는 셋째가 이미 무너졌으므로 따질 필요가 없다. 다만 ${\left(\sqrt{-1}\right)}^2=-1$ 자체는 복소수에서 $i^2=-1$ 이니 문제가 아니다.

여기서 얻을 것은 규칙의 적용 조건이다. $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ 를 음이 아닌 실수에 대해서는 증명할 수 있다. 양변을 제곱하면 곱셈의 교환·결합법칙만으로 $(\sqrt{a}\sqrt{b}{)}^2=ab$ 가 나오고, 양쪽 모두 음이 아니므로 제곱이 같으면 값이 같다.

마지막 단계에서 "음이 아니다"를 썼다는 데 주의하자. 음수까지 허용하면 $(-3{)}^2=3^2$ 이지만 $-3\ne 3$ 이다. 익숙한 규칙일수록 조건을 잊기 쉽다.

판정 기준은 어떤 부분집합을 잡아도 왼쪽 끝이 있는가다. 집합 자체에 최소 원소가 있는 것으로는 부족하다.

(가) 만족한다. 각 원소에서 $5$ 를 빼면 음이 아닌 정수 집합이 되고, 부분집합을 잡아도 마찬가지다.

(나) 만족한다. 같은 이유다. 하계가 있는 정수 집합이면 된다.

(다) 만족하지 않는다. 집합 전체를 부분집합으로 잡으면 최소 원소가 없다. $1/n$ 을 잡아도 $1/(n+1)$ 이 더 작다.

(라) 만족한다. 이것이 헷갈리는 예다. 원소들은 $1$ 을 향해 올라가고 있고, 아래쪽으로는 $0$ 에서 딱 멈춘다. 어떤 부분집합을 잡아도 그 안에서 $n$ 이 가장 작은 원소가 왼쪽 끝이다. $n$ 은 음이 아닌 정수이므로 그런 $n$ 이 반드시 있다.

(마) 만족한다. 유한집합의 공집합이 아닌 부분집합은 유한하고, 유한집합에는 최소 원소가 있다. 이 사실 자체도 증명이 필요하고, 이 장 뒤에서 증명한다.

(다)와 (라)를 나란히 놓고 보자. 둘 다 유리수의 무한집합인데 한쪽은 되고 한쪽은 안 된다. "정수인가"가 기준이 아니라 "아래로 끝없이 내려갈 수 있는가"가 기준이다.

뼈대는 둘 다 평행이동이다. 정렬성 원리는 음이 아닌 정수에만 쓸 수 있으니, 문제의 집합을 옮겨서 음이 아닌 정수 집합으로 만든다.

(가) 증명. 정수 집합 $S$ 가 실수 하계 $b$ 를 갖는다고 하자. $b$ 를 내림하여 얻은 정수 $n=\lfloor b\rfloor$ 도 $S$ 의 하계다. 이제 $T::=\{s-n:s\in S\}$ 를 보자. 모든 $s\ge n$ 이므로 $T$ 는 음이 아닌 정수 집합이다.

$S$ 의 공집합이 아닌 부분집합 $A$ 를 아무거나 잡자. 그러면 $\{a-n:a\in A\}$ 는 음이 아닌 정수로 된 공집합이 아닌 집합이므로 WOP 에 의해 최소 원소 $m$ 을 갖는다. 그러면 $m+n$ 이 $A$ 의 최소 원소다.

(나) 증명. 부호를 뒤집으면 (가)로 돌아간다. $S$ 가 상계 $b$ 를 갖는다고 하고 $-S::=\{-s:s\in S\}$ 를 보자. 모든 $s\le b$ 이므로 모든 $-s\ge -b$ 이고, 따라서 $-b$ 는 $-S$ 의 하계다. (가)에 의해 $-S$ 는 최소 원소 $-m$ 을 갖고, 그러면 $m$ 이 $S$ 의 최대 원소다.

두 증명이 한 일은 정렬성 원리를 쓸 수 있는 모양으로 문제를 옮긴 것이 전부다. 이 수법은 앞으로도 계속 쓴다. 공리는 좁게 진술해 두고, 필요할 때마다 문제를 그 모양으로 옮긴다.

뼈대는 이렇다. 기약분수로 쓸 수 없는 분수가 있다고 하면, 그중 분자가 가장 작은 것을 잡을 수 있다. 그런데 그것을 약분하면 분자가 더 작은 반례가 나온다.

왜 분자를 보는가. 우리가 최소 원소를 잡을 수 있는 것은 음이 아닌 정수 집합뿐이다. 분수 자체를 모아 놓으면 앞 절에서 본 대로 최소 원소가 없을 수 있다. 그래서 분수의 집합이 아니라 분자의 집합을 만든다. 이것이 WOP 증명에서 가장 중요한 판단이다.

증명. 모순을 이끌어 낸다. 기약분수로 쓸 수 없는 분수가 있다고 가정하고, 그런 분수들의 분자를 모아

$C::=\{m\in {\mathbb{Z}}^{+}:\text{어떤 }n>0\text{ 에 대해 }m/n\text{ 을 기약분수로 쓸 수 없다}\}$

라 하자. 가정에 의해 $C$ 는 공집합이 아니고, 양의 정수 집합이므로 WOP 에 의해 최소 원소 $m_0$ 을 갖는다. $C$ 의 정의에 따라 어떤 $n_0>0$ 이 있어

$\frac{m_0}{n_0}\text{ 을 기약분수로 쓸 수 없다.}$

기약분수로 쓸 수 없으니 $m_0$ 과 $n_0$ 에는 공통 소인수 $p>1$ 이 있다. 그런데

$\frac{m_0/p}{n_0/p}=\frac{m_0}{n_0}$

이므로 왼쪽 분수를 기약분수로 쓸 수 있다면 그것이 곧 $m_0/n_0$ 의 기약분수 표현이 된다. 오른쪽을 기약분수로 쓸 수 없으니 왼쪽도 쓸 수 없다.

그러면 $C$ 의 정의에 따라 $m_0/p\in C$ 다. 그런데 $p>1$ 이므로 $m_0/p<m_0$ 이고, 이는 $m_0$ 이 $C$ 의 최소 원소라는 데 어긋난다. 모순이다.

따라서 $C$ 는 공집합이고, 기약분수로 쓸 수 없는 분수는 없다.

이 증명이 알려 주는 것이 하나 더 있다. 우리는 정렬성 원리를 진작부터 몰래 쓰고 있었다. 기약분수라는 말을 쓸 때마다 이 정리를 쓴 것이다.

정형을 그대로 따른다. 뼈대는 최소 반례 $c$ 를 잡고, $c-1$ 에서 공식이 성립한다는 것을 써서 $c$ 에서도 성립함을 보이는 것이다.

증명. 모순을 이끌어 낸다. 반례를 모아

$C::=\{n\in \mathbb{N}:\sum _{i=1}^{n}i\ne \frac{n(n+1)}{2}\}$

라 하고, $C$ 가 공집합이 아니라고 가정하자. WOP 에 의해 $C$ 는 최소 원소 $c$ 를 갖는다.

$n=0$ 일 때 좌변은 항이 없어 $0$ 이고 우변은 $0\cdot 1/2=0$ 이므로 공식이 성립한다. 따라서 $0\notin C$ 이고 $c>0$ 이다. 그러면 $c-1$ 은 음이 아닌 정수이고 $c$ 보다 작으므로 $c-1\notin C$ 다. 즉

$\sum _{i=1}^{c-1}i=\frac{(c-1)c}{2}$

이다. 양변에 $c$ 를 더한다.

$\sum _{i=1}^{c}i=\frac{(c-1)c}{2}+c=\frac{c^2-c+2c}{2}=\frac{c(c+1)}{2}$

이것은 $n=c$ 에서 공식이 성립한다는 말이므로 $c\notin C$ 다. 그런데 $c\in C$ 였다. 모순이다.

따라서 $C$ 는 공집합이고, 공식은 모든 음이 아닌 정수에서 성립한다.

$c>0$ 을 확보한 자리를 눈여겨보자. 그 한 줄이 없으면 $c-1$ 이 음수가 될 수 있고, 그러면 $c-1\notin C$ 이라는 말이 아무 정보도 주지 않는다. WOP 증명에서 가장 자주 빠지는 것이 이 한 줄이다.

증명할 명제는 $S(n)\to 5\mid n$ 이다. 뼈대는 이렇다. 반례가 있다면 가장 작은 반례에서 우표 한 장을 떼어 낸다. 남은 금액은 더 작으니 반례가 아니고, 따라서 $5$ 의 배수다. 그러면 원래 금액도 $5$ 의 배수다.

증명. 반례를 모아

$C::=\{n\in \mathbb{N}:S(n)\text{ 이고 }5\nmid n\}$

라 하고, 공집합이 아니라고 가정하자. WOP 에 의해 최소 원소 $m$ 이 있다.

$m>0$ 이다. 우표를 한 장도 쓰지 않으면 $0$ 원이므로 $S(0)$ 은 참이고, $5\mid 0$ 이므로 $0\notin C$ 이다.

$S(m)$ 이고 $m>0$ 이므로 우표를 적어도 한 장 썼다. 그 한 장을 떼어 내면 $S(m-10)$ 또는 $S(m-15)$ 이 성립하고, 뗀 우표의 값만큼은 $m$ 이 그보다 크므로 남은 금액도 음이 아니다.

$S(m-10)$ 인 경우: $m-10$ 은 음이 아닌 정수이고 $m$ 보다 작으므로 $m-10\notin C$ 다. 그런데 $S(m-10)$ 이 참이므로 $C$ 의 정의상 $5\mid (m-10)$ 이어야 한다. 그러면 $5\mid 10$ 이므로 $5\mid m$ 이고, 이는 $m\in C$ 라는 데 어긋난다.

$S(m-15)$ 인 경우: 같은 방식으로 $5\mid (m-15)$ 이고 $5\mid 15$ 이므로 $5\mid m$ 이다. 역시 모순이다.

두 경우 모두 모순이므로 $C$ 는 공집합이고, 만들 수 있는 금액은 모두 $5$ 의 배수다.

이 증명은 정형을 채우는 연습으로 좋다. ④단계에서 한 일이 "더 작은 것에서는 참"이라는 정보를 한 번 쓴 것뿐이다.

뼈대는 이렇다. 가장 작은 반례 $c$ 에서 $3$ 을 빼면 $c$ 보다 작으니 반례가 아니고, 따라서 $3a+5b$ 로 쓸 수 있다. 양변에 $3$ 을 더하면 $c$ 도 쓸 수 있다.

그런데 $c-3$ 이 $8$ 이상이어야 이 논증이 성립한다. 그래서 작은 값 몇 개를 먼저 확인해 $c$ 를 아래에서 밀어내야 한다.

증명. 먼저 $8=3+5$, $9=3\cdot 3$, $10=2\cdot 5$ 이므로 $8$, $9$, $10$ 은 반례가 아니다.

이제 반례를 모아 $C::=\{n\in \mathbb{Z}:n\ge 8\text{ 이고 }n\text{ 을 }3a+5b\text{ 로 쓸 수 없다}\}$ 라 하고 공집합이 아니라고 가정하자. $C$ 는 하계 $8$ 을 갖는 정수 집합이므로 앞에서 증명한 대로 최소 원소 $c$ 를 갖는다.

위에서 확인한 대로 $8,9,10\notin C$ 이므로 $c\ge 11$ 이다. 그러면 $c-3\ge 8$ 이고 $c-3<c$ 이므로 $c-3\notin C$ 다. 즉 음이 아닌 정수 $a$, $b$ 가 있어

$c-3=3a+5b$

다. 양변에 $3$ 을 더하면

$c=3(a+1)+5b$

이고 $a+1$ 도 음이 아닌 정수이므로 $c$ 를 $3a^{\prime }+5b$ 꼴로 썼다. 이는 $c\in C$ 라는 데 어긋난다. 모순이다.

따라서 $C$ 는 공집합이고 주장이 성립한다.

여기서는 WOP 를 음이 아닌 정수가 아니라 "$8$ 이상의 정수"에 적용했다. 그렇게 해도 되는 근거가 앞 절의 하계 정리다. 공리를 좁게 두고 필요할 때 옮겨 쓴다는 것이 이렇게 값을 한다.

뼈대는 이렇다. 해가 하나 있으면 세 수가 모두 짝수여야 하고, 그러면 절반으로 줄인 것도 해가 된다. 그러니 가장 작은 해가 있을 수 없다.

무엇의 최소를 잡을지 정해야 한다. 해는 세 수의 묶음이라 그 자체로는 크기를 비교하기 어렵다. $c$ 만 모으면 양의 정수 집합이 된다.

쓰는 사실 하나를 밝혀 둔다. 정수의 세제곱이 짝수이면 그 정수도 짝수다. 홀수 $n=2k+1$ 이면 $n^3=8k^3+12k^2+6k+1$ 이 홀수이기 때문이다.

증명. 모순을 이끌어 낸다. 양의 정수해가 있다고 가정하고

$C::=\{c\in {\mathbb{Z}}^{+}:\text{어떤 양의 정수 }a,b\text{ 에 대해 }4a^3+2b^3=c^3\}$

라 하자. 가정에 의해 공집합이 아니므로 WOP 에 의해 최소 원소 $c$ 가 있고, 그에 맞는 양의 정수 $a$, $b$ 가 있다.

좌변이 짝수이므로 $c^3$ 이 짝수이고, 따라서 $c$ 가 짝수다. $c=2c^{\prime }$ 라 하면

$4a^3+2b^3=8c^{\prime 3}⟹2a^3+b^3=4c^{\prime 3}$

이다. 이제 $b^3=4c^{\prime 3}-2a^3$ 이 짝수이므로 $b$ 도 짝수다. $b=2b^{\prime }$ 라 하면

$2a^3+8b^{\prime 3}=4c^{\prime 3}⟹a^3+4b^{\prime 3}=2c^{\prime 3}$

이다. 또 $a^3=2c^{\prime 3}-4b^{\prime 3}$ 이 짝수이므로 $a$ 도 짝수다. $a=2a^{\prime }$ 라 하면

$8a^{\prime 3}+4b^{\prime 3}=2c^{\prime 3}⟹4a^{\prime 3}+2b^{\prime 3}=c^{\prime 3}$

이다. $a^{\prime }$, $b^{\prime }$, $c^{\prime }$ 는 모두 양의 정수이므로 $c^{\prime }\in C$ 다. 그런데 $c^{\prime }=c/2<c$ 이므로 $c$ 가 최소라는 데 어긋난다. 모순이다.

따라서 $C$ 는 공집합이고 방정식은 양의 정수해를 갖지 않는다.

이 방법을 무한 강하법(infinite descent)이라 한다. 해가 있으면 더 작은 해를 만들 수 있고, 그러면 끝없이 내려갈 수 있는데 양의 정수에서는 불가능하다는 논리다. 페르마가 즐겨 쓴 수법이고, 결국 정렬성 원리와 같은 이야기다.

뼈대는 이렇다. 목표 금액이 $2^m$ 보다 작으면 큰 봉투를 안 쓰고 만들 수 있고, $2^m$ 이상이면 큰 봉투를 하나 쓰고 나머지를 만든다. 목표를 둘로 나누는 것이 요점이다.

증명. 성질을 만족하지 않는 $m$ 을 모아 $C$ 라 하고, 공집합이 아니라고 가정하자. WOP 에 의해 최소 원소 $c$ 가 있다.

$c>0$ 이다. $m=0$ 이면 봉투는 $1$ 원짜리 하나뿐이고 만들어야 하는 금액은 $2$ 보다 작은 $0$ 과 $1$ 이다. $0$ 은 아무 봉투도 고르지 않으면 되고 $1$ 은 그 봉투를 고르면 된다. 그러니 $0\notin C$ 이다.

$c>0$ 이므로 $c-1$ 은 음이 아닌 정수이고 $c$ 보다 작으므로 $c-1\notin C$ 다. 즉 봉투 $1,2,\dots ,2^{c-1}$ 로 $2^c$ 보다 작은 모든 금액을 만들 수 있다.

이제 $0\le n<2^{c+1}$ 인 금액 $n$ 을 아무거나 잡고 두 경우로 나눈다.

경우 1: $n<2^c$. $c-1$ 에서 성질이 성립하므로 $1,\dots ,2^{c-1}$ 중 몇 개로 $n$ 을 만들 수 있다. 그 조합은 $1,\dots ,2^c$ 중에서 고른 것이기도 하다.

경우 2: $2^c\le n<2^{c+1}$. 그러면 $0\le n-2^c<2^c$ 이므로 경우 1 과 같은 이유로 $1,\dots ,2^{c-1}$ 중 몇 개로 $n-2^c$ 를 만들 수 있다. 거기에 $2^c$ 봉투를 더하면 $n$ 이 된다.

두 경우가 빠짐없으므로 $2^{c+1}$ 보다 작은 모든 금액을 만들 수 있고, 이는 $c$ 가 성질을 만족한다는 말이다. $c\in C$ 라는 데 어긋난다. 모순이다.

따라서 $C$ 는 공집합이고 성질은 모든 $m$ 에 대해 참이다.

이 성질이 곧 모든 음이 아닌 정수를 이진법으로 쓸 수 있다는 말이다. 봉투를 고르는 것이 비트를 $1$ 로 놓는 것이다. 6장에서 이 대응을 다시 만난다.

뼈대는 이렇다. 가장 작은 반례를 잡으면 그것은 소수가 아니므로 더 작은 두 정수의 곱이다. 두 조각은 더 작으니 반례가 아니고, 각각의 소수 분해를 이어 붙이면 원래 수의 분해가 된다.

증명. 소수들의 곱으로 쓸 수 없는 $1$ 보다 큰 정수를 모아 $C$ 라 하고, 공집합이 아니라고 가정하자. $C$ 는 하계 $2$ 를 갖는 정수 집합이므로 최소 원소 $n$ 을 갖는다.

$n$ 은 소수가 아니다. 소수는 길이 $1$ 인 곱으로 보기로 했으므로 소수는 $C$ 에 들어갈 수 없다.

$n>1$ 이고 소수가 아니므로 $n=ab$ 이면서 $1<a<n$, $1<b<n$ 인 정수 $a$, $b$ 가 있다. $a$ 와 $b$ 는 $C$ 의 최소 원소보다 작으므로 $a\notin C$ 이고 $b\notin C$ 다. 즉

$a=p_1{p}_2\cdots p_k,b=q_1{q}_2\cdots q_{\ell }$

로 소수들의 곱으로 쓸 수 있다. 그러면

$n=ab=p_1\cdots p_k{q}_1\cdots q_{\ell }$

이므로 $n$ 도 소수들의 곱이다. $n\in C$ 라는 데 어긋난다. 모순이다.

따라서 $C$ 는 공집합이고 주장이 성립한다.

앞의 예제들과 다른 점이 하나 있다. $c-1$ 이나 $c-3$ 처럼 정해진 만큼 내려가지 않고, $n$ 을 둘로 쪼개 어디로 내려갈지 모르는 채로 내려갔다. 이런 자리에서 정렬성 원리가 특히 편하다. 한 걸음이 한 칸이 아니어도 "더 작다"는 것만 확실하면 되기 때문이다.

지수에 분수가 있어 다루기 어렵다. 양변을 세제곱하면 부등호 방향이 유지되므로(양변이 음이 아니다) 다음과 동치다.

$n^3\le 3^n$

뼈대는 이렇다. 최소 반례 $c$ 에서 $c-1$ 의 부등식을 쓰고, $(c/(c-1){)}^3$ 이 $3$ 을 넘지 않는지 확인한다.

증명. 작은 값을 먼저 확인한다. $n=0$: $0\le 1$. $n=1$: $1\le 3$. $n=2$: $8\le 9$. $n=3$: $27\le 27$. 모두 성립한다.

반례를 모아 $C$ 라 하고 공집합이 아니라고 가정하면 최소 원소 $c$ 가 있고, 위의 확인에 의해 $c\ge 4$ 다. $c-1\ge 3$ 이고 $c-1\notin C$ 이므로

$(c-1{)}^3\le 3^{c-1}$

이다. 양변에 ${\left({\displaystyle \frac{c}{c-1}}\right)}^3>0$ 을 곱하면

$c^3\le {\left(\frac{c}{c-1}\right)}^3{3}^{c-1}$

이다. 이제 괄호 안을 재 보자. $c\ge 4$ 이므로

$\frac{c}{c-1}=1+\frac{1}{c-1}\le 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

이고, 따라서 ${\left({\displaystyle \frac{c}{c-1}}\right)}^3\le {\displaystyle \frac{64}{27}}<{\displaystyle \frac{81}{27}}=3$ 이다. 이를 위 부등식에 넣으면

$c^3\le \frac{64}{27}\cdot 3^{c-1}<3\cdot 3^{c-1}=3^c$

이므로 $c$ 에서 부등식이 성립한다. $c\in C$ 라는 데 어긋난다. 모순이다.

$c\ge 4$ 를 확보하려고 네 값을 확인한 것이 결정적이었다. $c=2$ 였다면 $c/(c-1)=2$ 이고 $2^3=8>3$ 이라 논증이 통하지 않는다. 확인할 초기값의 개수는 문제가 정한다.

유한집합의 부분집합은 유한하므로 "공집합이 아닌 유한집합에는 최소 원소가 있다"만 증명하면 된다.

무엇에 WOP 를 걸지 고른다. 집합의 원소들은 실수라 정렬성 원리를 쓸 수 없다. 대신 집합의 크기가 음이 아닌 정수다.

증명. 최소 원소가 없는 크기 $n$ 의 집합이 존재하는 양의 정수 $n$ 을 모아 $C$ 라 하고, 공집합이 아니라고 가정하자. WOP 에 의해 최소 원소 $m$ 이 있다.

크기 $1$ 인 집합은 그 하나뿐인 원소가 최소 원소이므로 $1\notin C$ 이고, 따라서 $m\ge 2$ 다.

크기 $m$ 인 실수 집합 $F$ 를 잡자. $F$ 에 최소 원소가 있음을 보이면 모순이 된다. $F$ 의 원소 하나를 $r_0$ 라 하고 그것을 뺀 집합을 $F^{\prime }$ 라 하면, $m\ge 2$ 이므로 $F^{\prime }$ 는 공집합이 아니고 크기가 $m-1<m$ 이다. $m$ 이 $C$ 의 최소 원소이므로 $m-1\notin C$ 이고, 따라서 $F^{\prime }$ 에는 최소 원소 $r_1$ 이 있다.

이제 $r_0$ 과 $r_1$ 중 작은 쪽이 $F$ 의 최소 원소다. $F$ 의 원소는 $r_0$ 이거나 $F^{\prime }$ 의 원소이고, 후자는 모두 $r_1$ 이상이기 때문이다.

그러면 $m\in C$ 라는 데 어긋난다. 모순이므로 $C$ 는 공집합이다.

여기서 WOP 를 집합의 원소가 아니라 집합의 크기에 걸었다는 점이 중요하다. 증명하려는 대상이 정수가 아닐 때 정수인 무언가를 찾아 그것에 WOP 를 거는 것이 이 방법의 응용 요령이다.

뼈대는 이렇다. 한 걸음마다 반드시 줄어드는 음이 아닌 정수를 찾는다. 여기서는 두 수의 합이 그 값이다.

증명. 절차의 각 단계에서 두 수의 합 $a+b$ 를 그 단계의 측도로 삼는다. 두 수가 양의 정수이므로 측도는 언제나 음이 아닌 정수다.

한 걸음 갈 때 무슨 일이 일어나는지 보자. $a>b$ 라 하면 새 상태는 $(a-b,b)$ 이고 측도는 $a$ 다. $b>0$ 이므로

$a<a+b$

이고 측도가 반드시 줄어든다. $b>a$ 인 경우도 대칭이다. 또 뺀 결과 $a-b$ 는 $a>b$ 이므로 양수이고, 그래서 다음 단계의 측도도 음이 아니다.

이제 절차가 멈추지 않는다고 가정하자. 그러면 측도의 값들이 끝없이 이어지는 감소열

$m_0>m_1>m_2>\cdots$

을 이루고, 이 값들을 모은 집합은 음이 아닌 정수로 된 공집합이 아닌 집합인데 최소 원소가 없다. 어떤 $m_k$ 를 잡아도 $m_{k+1}$ 이 더 작기 때문이다. 이는 정렬성 원리에 어긋난다. 모순이다.

따라서 절차는 반드시 멈춘다.

이 절차가 무엇을 계산하는지도 말해 둔다. 멈출 때의 값은 $a$ 와 $b$ 의 최대공약수다. 그 사실은 11장에서 증명하고, 이런 "측도가 줄어든다"는 논증을 체계적으로 다루는 것은 8장의 상태 기계다. 여기서는 종료성이 정렬집합의 성질에서 나온다는 것만 확인해 두면 된다.

결론부터 보면 거짓이다. $F(1)=1$ 은 홀수다. 그러니 어딘가 틀렸다.

한 문장씩 보자. ①부터 ⑦까지는 정형 그대로이고 문제가 없다. ⑦은 최소 원소의 뜻에서 바로 나온다.

⑧이 틀렸다. ⑦은 "$m$ 보다 작은 음이 아닌 $k$ 에 대해"를 말한 것인데, ⑧은 그것을 $m-1$ 과 $m-2$ 에 적용했다. $m=1$ 이면 $m-2=-1$ 이고 $F(-1)$ 은 아예 정의되지 않았다. ⑨의 "정의에 의해"도 $n>1$ 일 때만 쓸 수 있는 것이다.

⑥이 확보한 것은 $m>0$ 뿐이다. ⑧을 쓰려면 $m>1$ 이 필요하고, 그러려면 $F(1)$ 도 짝수임을 확인해야 한다. 그런데 $F(1)=1$ 은 홀수라 그 확인이 실패한다. 실제로 $m=1$ 이 진짜 최소 반례다.

얻을 교훈은 3장의 경우 나누기에서 본 것과 같다. 정의역의 경계를 확인하는 일이 증명의 일부다. 두 칸 뒤를 참조하는 정의라면 초기값 두 개를 확인해야 하고, 세 칸 뒤라면 세 개다. 정형의 ③단계에서 얻는 정보는 "$c$ 보다 작은 음이 아닌 정수에서 참"이지 "$c$ 보다 작은 정수에서 참"이 아니다.

결론은 참이고 경우 나누기도 빠짐없다. 두 경우의 약분 논증도 옳다. 그런데 근거 없는 단계가 하나 있다.

"그러므로 $C$ 에는 최소 원소 $q_0$ 이 있다"가 근거 없다. $C$ 는 유리수의 집합이고, 정렬성 원리는 음이 아닌 정수 집합에만 쓸 수 있다. 이 장 첫 절에서 양의 유리수 집합에는 최소 원소가 없음을 확인했다.

실제로 $C$ 가 공집합이 아니라면 최소 원소가 있을 이유가 전혀 없다. 어떤 $q\in C$ 를 잡아도 더 작은 원소가 있을 수 있고, 그것이 유리수의 성질이다.

그러면 이 증명을 고칠 수 있는가. 고칠 수 있다. 앞에서 한 대로 유리수를 모으지 말고 분자를 모으면 된다. 분자는 양의 정수이므로 최소 원소가 있고, 나머지 논증은 그대로 쓸 수 있다.

여기서 얻을 것은 4장 전체의 요점이다. 정렬성 원리를 쓰려면 무엇에 쓰는지가 먼저 정해져야 한다. 집합만 만들어 놓고 "WOP 에 의해"라고 쓰는 것이 이 장에서 가장 흔한 잘못이다.

골드바흐 추측이 참인지 아무도 모르는데도 (가)와 (다)는 판정할 수 있다.

(가) 참이다. 결론 "모든 실수 $x$ 에 대해 $x^2\ge 0$"이 참이므로, 가정이 참이든 거짓이든 진리표의 (참참) 줄이거나 (거참) 줄이다. 둘 다 함의가 참이다.

(나) 판정할 수 없다. 결론이 거짓이므로 (참거) 줄이거나 (거거) 줄이다. 앞쪽이면 거짓, 뒤쪽이면 참이다. 골드바흐 추측의 진리값을 알아야 답이 나온다.

(다) 참이다. $2^{100}+1=(2^{20}{)}^5+1$ 은 $2^{20}+1$ 로 나누어떨어져 소수가 아니다. 가정이 거짓이므로 함의는 참이다.

(가)가 이 예제의 핵심이다. 결론이 참이기만 하면 가정이 무엇이든 함의는 참이다. 이것이 "인과관계를 무시한다"는 말의 실제 모습이다.

차이는 논리가 아니라 말하는 사람이 무엇을 함께 뜻하고 있는가에 있다.

수학자의 말은 딱 그만큼이다. 연속이 미분가능의 필요조건이라는 것 말고 아무것도 주장하지 않는다. 연속인데 미분가능하지 않은 함수는 실제로 있고($|x|$ 가 그렇다), 수학자는 그것을 알고 있다. 그러니 $C\to D$ 는 주장하지 않는다.

어머니의 말은 다르다. 아이가 "숙제를 했는데도 TV 를 못 보게 하려나?"라고 되묻지 않는다는 데서 알 수 있다. 어머니는 "숙제를 하면 TV 를 볼 수 있다"도 함께 약속한 것이고, 그래서 $(\mathrm{\neg }H\to \mathrm{\neg }T)\wedge (H\to T)\equiv H\leftrightarrow T$ 가 된다.

이 예제가 말하는 것은 번역이 기계적인 작업이 아니라는 것이다. 일상어를 논리식으로 옮길 때는 문장 밖에 있는 뜻까지 읽어야 한다. 그리고 그 읽기가 끝난 뒤부터는 기계적이다. 그래서 이 문서는 애매함을 남기지 않으려고 처음부터 기호로 적는다.